V siedmom ročníku sa učíme povrch a objem kocky a kvádra, prípadne pravidelného štvorbokého hranola. Najprv si kocky a kvádre narysujeme vo voľnom rovnobežnom premietaní. Naučíme sa rozlíšiť nadhľad a podhľad ľavotočivý aj pravotočivý. Pripomenieme si premenu jednotiek dĺžky a obsahu, vysvetlíme si premenu jednotiek objemu v metrickej miere a jej prepojenie na dutú mieru. Prejdeme výpočtami podľa vzorcov, celé učivo ukončíme zaujímavými slovnými úlohami.
Pri nadhľade vidíme na kocke okrem prednej steny vždy aj vrchnú stenu a podľa toho, či vidíme ľavú alebo pravú bočnú stenu, hovoríme o ľavotočivom nadhľade alebo pravotočivom nadhľade. Pri rysovaní takýchto modelov hrany, ktoré vidíme priamo - dĺžka a výška si zachovávajú svoj rozmer, ale hrana, ktorú nevidíme priamo - šírka alebo hĺbka sa rysuje pod uhlom 135° a jej veľkosť je zmenšená na polovicu.
- Pri podhľade vidíme na kocke okrem prednej steny vždy aj spodnú stenu a podľa toho, či vidíme ľavú alebo pravú bočnú stenu, hovoríme o ľavotočivom podhľade alebo pravotočivom podhľade. Pri rysovaní takýchto modelov hrany, ktoré vidíme priamo - dĺžka a výška si zachovávajú svoj rozmer, ale hrana, ktorú nevidíme priamo - šírka alebo hĺbka sa rysuje pod uhlom 135° a jej veľkosť je zmenšená na polovicu.
- Povrch značíme veľkým tlačeným písmenom S. Ak má kocka dĺžku hrany 5 cm, potom obsah jednej steny je 5 cm · 5 cm = 25 cm2. Všetky steny sú zhodné, preto aj ďalších päť stien má obsah 25 cm2. Potom povrch kocky bude 6 · 25 = 150 cm2. Ak má kocka dĺžku hrany 4 cm, potom obsah jednej steny je 4 cm · 4 cm = 16 cm2. Ak má kocka hranu dĺžky a, potom vzorec pre výpočet povrchu kocky je S = 6a². Kocka má 6 zhodných stien a každá stena má tvar štvorca.
- Ak má kocka hranu dĺžky 5 cm, potom obsah spodnej steny je 5 cm · 5 cm = 25 cm2. Výška kocky je tiež 5 cm. Ak budeme liať vodu do vnútra kocky, voda najprv pokryje dno (spodnú stenu) kocky = 25 cm2 a postupne ako lejeme, sa hladina zdvíha do výšky. Môžeme povedať, že celý štvorec - dno sa zdvíha hore. Preto objem kocky vypočítame V = a^3 = 5^3 = 125 cm3.
- Ak má kocka hranu dĺžky a, potom vzorec pre výpočet objemu kocky je V = a^3. U kvádra platí, že ak má dĺžku a, šírku b a výšku c, potom objem kvádra je V = a · b · c. Objem a povrch kvádra závisí od týchto rozmerov a od počtu a tvaru stien.
Ak má kváder dĺžku 5 cm, šírku 3 cm a výšku 4 cm, potom obsah prednej steny je 5 cm × 4 cm = 20 cm2, obsah spodnej steny je 5 cm × 3 cm = 15 cm2 a obsah bočnej steny je 3 cm × 4 cm = 12 cm2. Uvedomíme si, že predná stena je rovnaká ako zadná, bočné steny sú dve a spodná a vrchná stena sú tiež zhodné. Preto povrch vypočítame 2 · (20 + 15 + 12) = 2 · 47 = 94 cm2. Ak má kváder dĺžku 6 cm, šírku 3 cm a výšku 5,5 cm, potom obsah prednej steny je 6 cm × 5,5 cm = 33 cm2, obsah spodnej steny je 6 cm × 3 cm = 18 cm2 a obsah bočnej steny je 3 cm × 5,5 cm = 16,5 cm2. Preto povrch vypočítame 2 · (33 + 18 + 16,5) = 2 · 67,5 = 135 cm2.
Ak má kváder dĺžku a, šírku b a výšku c, potom vzorec pre výpočet povrchu kocky je S = 2 · (a · b + a · c + b · c) alebo S = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c. Kocka má 6 zhodných stien a každá stena má tvar štvorca. Ak má kocka dĺžku hrany 5 cm, potom obsah spodnej steny je 25 cm2 a výška kocky je 5 cm. Potom objem kocky je V = a^3 a povrch S = 6a^2, čo sú základné vzťahy pre pravidelný šesťsten na úrovni základného školstva. Pri premene jednotiek a pri praktických problémoch si žiaci overia aj výpočty objemu kvádrov a ich zodpovedajúce povrchy.
V súvislosti so zobrazením objemov a povrchov sú uvedené aj zmysluplné slovné úlohy: napríklad do akvária s rozmermi dna 40 cm a 50 cm sme naliali 6 litrov vody. Do bazéna v tvare kvádra s rozmermi dna 25 m a 12 m a výškou 3 m sme naliali vodu 5 cm pod okraj. Bazén má tvar kvádra s rozmermi dna 6 m a 25 m a výškou 2,5 m. Debnička na kvety má tvar kvádra. Jej dĺžka je 1,3 m, šírka 15 cm a výška 1 m. Povrch kocky je 54 dm2. Do kvádra s rozmermi dna 40 cm a 50 cm sme naliali 6 litrov vody a podobne ďalšie konkrétne príklady pomáhajú pochopiť vzťahy medzi rozmermi a objemom.
Veľká kocka má hranu dĺžky n centimetrov, preto sa skladá z n^3 malých kocôčok s dĺžkou hrany 1 cm. Ak by veľká kocka mala hranu 12 alebo menej centimetrov, pozostávala by zo najviac 12^3 = 1728 jednotkových kocôčok. Avšak 13^3 = 2197 > 2020, takže treba nájsť vhodné veľkosti kociek, ktoré by zaplnili požadovaný objem. Väčšina Kubkových kociek bude mať hranu 1 cm a k objemu 2020 doplniť 177 cm^3, čo sa dá nahradením niektorých kociek väčšími kockami. Napríklad šesť kociek s hranou 3 cm a tri kocky s hranou 2 cm môžu viesť k požadovanému objemu po doplnení malých kociek, a ukážeme si, že z týchto kociek vieme zostaviť aj veľkú kocku s hranou 13 cm.
Ako nájsť povrch kocky | Matematika s pánom J.
Geometria kocky zahŕňa šesťidentické štvorcové steny, objem kocky je V = a^3, povrch S = 6a^2, uhlopriečky a polomery sú definované vzťahmi súvisiacimi s hranou a s telesom. Tieto vzťahy sú užitočné pri riešení úloh a pri porovnávaní rozmerov kociek a kvádrô. Pri konkrétnych úlohách si žiaci overujú aj prepojenie medzi objemom, povrchom a rozmery pri rozličných tvaroch, či už ide o kocku alebo kváder.
Uvedieme ešte praktické poznámky k vizualizácii: pri nadhľade vidíme prednú a vrchnú stenu a podľa bočnej steny poznáme smer nadhľadu (ľavotočivý alebo pravotočivý). Pri podhľade vidíme prednú a spodnú stenu a tiež smer odbočenia z bočnej steny. Pri rysovaní hrán, ktoré vidíme priamo, dĺžka a výška ostávajú rovnaké, zatiaľ čo hĺbka alebo šírka sa vykresľuje pod uhlom 135° a skutočná veľkosť sa zmenšuje na polovicu.
tags: #gula #dotykajuca #sa #hran #kocky