Text obsahuje charakteristiky gule a jej častí, výpočty objemov a povrchov teles a aplikácie v spojitosti s kockou a valcami. V ďalších kapitolách sa zameriavame na praktické výpočty, ktoré vychádzajú z uvedených definícií a vzorcov.
1. Charakterizujte vlastnosti gule a jej častí
Guľa r − polomer; d − priemer. Guľová vrstva p1,p2 − polomery rezov v − výška vrstvy. Guľový odsek r − polomer; gule p − polomer odseku; v − výška odseku. Guľový výsek r − polomer gule; v − výška odseku. Guľový vrchlík alebo pás r = polomer gule; v = výška vrchlíka alebo pása. S = 2π · r · v.
Riešenie: Guľa r - polomer; d - priemer. Guľová vrstva p1,p2 - polomery rezov; v - výška vrstvy. Guľový odsek r - polomer; p - polomer odseku; v - výška odseku. Guľový výsek r - polomer gule; v - výška odseku. Guľový vrchlík alebo pás r = polomer gule; v = výška vrchlíka alebo pása. S = 2π · r · v.
2. Doplnenie tabuľky s hodnotami gule
Riešenie: V tabuľke sú uvedené základné charakteristiky gule, ako sú polomery rezov, výšky vrstiev a vzorce pre objemy a povrchy.
3. Zlúčenie troch gúľ do jednej
Tri gule s polomermi r1 = 3 cm, r2 = 4 cm, r3 = 5 cm treba roztopiť a zliať do jednej gule. Aký bude polomer tejto gule?
Riešenie: Polomer novej gule bude R = 6 cm.
4. Kocka vpísaná do gule
Kocka je vpísaná do gule s polomerom r = 6 cm. Koľko percent tvorí objem kocky z objemu gule?
Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
5. Hmotnosť dutej mosadze gule
Hmotnosť dutej mosadznej gule (ρ = 8,5 g·cm−3), ak vonkajší priemer je D = 12 cm a hrúbka steny je h = 2 mm. Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
6. Guľa a kužeľ vpísané v rovnostrannom valci
Do rovnostranného valca je vpísaná guľa a kužeľ. Určite pomer Vk : Vg : Vv. Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
7. Rovinný rez gule
Rovinný rez gule má dĺžku l = 125,6 cm. Vzdialenosť rezu od stredu gule je v = 6 cm. Určite polomer gule a jej objem. Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
8. Guľový odseg s výškou
Guľový odsek s výškou v = 5 cm má objem V = 850 cm3. Určite polomer pôvodnej gule r. Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
9. Výška guľového vrchlíka a pomer povrchu
Výška guľového vrchlíka sa rovná tretine polomeru gule. V akom pomere je povrch gule k obsahu vrchlíka? Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
10. Hmotnosť dvojvypuklej šošovky
Vypočítajte hmotnosť dvojvypuklej sklenenej šošovky (ρ = 3,5 g·cm−3), ktorej priemer je 10 cm a hrúbka 1,2 cm. Prihláste sa pre zobrazenie riešenia
Priestorové útvary a ich vzťahy
Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá; povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je V = a · b · c; objem kocky je rovnaký spôsobom. Povrch kvádra vypočítame ako S = 2(ab + bc + ac). Hranné útvary: hranol, ihlan, valec, kužeľ a guľa.
Objem a povrch gule: objem V = Sp · v, kde Sp je obsah kruhovej podstavy a v je výška gule. Povrch gule je S = 4πr^2. Guľa nemá hrany ani rohy; všetky body na povrchu majú rovnakú vzdialenosť od stredu, čo ju robí ideálnym modelom v rôznych fyzikálnych oblastiach.
Podstavy gule sú kruhy s polomerom r a plášť gule nie je vybudovaný z plášťa v tradičnom zmysle; idea gule vyplýva z definície bodov na povrchu, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu.
Matematické kúsky - Zväzok
Vzorové výpočty a poznámky
- Objem gule: V = 4/3 · π · r^3
- Povrch gule: S = 4 · π · r^2
- Objem kužeľa: V = 1/3 · S_p · v
- Povrch kužeľa: S = π · r^2 + π · r · s
- Povrch valca: S = 2πr^2 + 2πr·v
Konštanta π sa používa s približnou hodnotou π ≈ 3,14159265. Pri výpočtoch môžeme pracovať so vzorcmi pre objem a povrch gule, kužeľa, valca a ihlanu podľa definícií uvedených vyššie.
Použité definície a základné vzorce
- Guľa: objem V = (4/3)πr^3; povrch S = 4πr^2
- Guľový odsek: objem a povrch sú odvodené od polomeru odseku a výšky
- Guľový vrchlík/pás: výpočet podľa polomeru gule a výšky vrchlíka alebo pásu