Intenzita elektrického poľa nabitej gule: výpočet a súvisiace pojmy

Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule o poloměru z se středem ve středu nabité vrstvy. V takovém případě je díky symetrii rozložení náboje vektor elektrické intenzity ve všech místech kolmý na plochu a má stejnou velikost. (Viz oddíl Jak volit Gaussovu plochu? Rozbor

Vzhledem k symetrickému rozložení náboje je nejjednodušším způsobem nalezení intenzity elektrického pole v tomto případě využití Gaussovy věty. Gaussova věta vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity uzavřenou plochou a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy. Vektor elektrické intenzity míří ve všech místech od středu kulové vrstvy směrem ven a jeho velikost závisí pouze na vzdálenosti od středu kulové vrstvy. Důvodem je symetrické rozložení kladného náboje ve vrstvě (pokud by byl náboj záporný, vektory by měly opačný směr).

Pro zdůvodnění může pomoci následující představa. Náboj je rozložen ve vrstvě symetricky, a proto nepoznáme žádný rozdíl, pokud kulovou vrstvu libovolně otočíme kolem jejího středu. Gaussovou plochou zvolíme povrch koule se středem ve středu nabité vrstvy. V tomto případě má vektor elektrické intenzity na celé této ploše stejnou velikost a je na ni kolmý.

Úlohu si rozdělíme na tři části. Počítáme-li intenzitu vně kulové vrstvy, bude mít Gaussova koule větší poloměr než nabitá vrstva. Uvnitř ní je tedy veškerý náboj rozložený v kulové vrstvě. Počítáme-li intenzitu uvnitř nabité kulové vrstvy, bude Gaussova koule mít menší poloměr než vnější poloměr vrstvy a větší než vnitřní poloměr vrstvy. Uvnitř plochy je uzavřena pouze část náboje. Počítáme-li intenzitu uvnitř duté části kulové vrstvy, bude mít Gaussova koule menší poloměr než je vnitřní poloměr kulové vrstvy. Potenciál vypočítame z elektrické intenzity. Potenciál v daném místě se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do tohoto místa. Při vyjadřování potenciálu si musíme dát pozor na velikost intenzity. Tentokrát není intenzita elektrického pole vyjádřena podél celé integrační cesty stejným vztahem. Hranicí, kdy se vyjádření intenzity mění, je povrch kulové vrstvy. Proto je třeba celý integrál rozdělit na dvě části. Nejdříve musíme náboj přenést z nekonečna na povrch kulové vrstvy (tj. φ(z) = - ∫∞^z E dz).

Intenzita vně vrstvy

V tomto oddíle určíme intenzitu elektrického pole vně nabité vrstvy, tzn. ∮S E·n dS = Q/ε0. Náboj je v kulové vrstvě rozložen symetricky, a proto je i elektrické pole v okolí vrstvy symetrické. Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch koule, která má poloměr z a střed má ve středu nabité vrstvy. V tomto případě bude totiž vektor elektrické intenzity vždy kolmý ke Gaussově ploše, a proto platí E·n = En = E (pozn. Velikost vektoru elektrické intenzity E je ve všech místech zvolené plochy stejná, a proto ji můžeme vyjmout před integrál jako konstantu. ∮k E·n dS = E ∮k dS).

Nyní vypočítáme integrál. Integrujeme-li dS přes povrch koule, získáme obsah povrchu této koule. (Pozn.: Můžeme si to představit tak, že dS jsou obsahy malých kousků povrchu koule. E = (1/4πε0) (Q/z^2). Pozn.: Vzorec je stejný ako pre intenzitu elektrického poľa v okolí bodového náboja. E = k Q / z^2

Intenzita uvnitř nabité vrstvy

V tomto oddíle vyjádříme intenzitu elektrického pole uvnitř nabité kulové vrstvy (a < z < b). ∮k E·dS = E 4π z^2. Nyní vyjádříme náboj Q1. Protože Gaussova koule je menší než nabitá kulová vrstva, není uvnitř ní veškerý náboj, ale pouze jeho část. E = (ρ/3ε0) (z^3 - a^3)/z^2 = (ρ/3ε0) (z - a^3/z^2). Jako Gaussovu plochu zvolíme opět povrch koule se středem ve středu nabité vrstvy a o poloměru z. Tok intenzity touto plochou (tj. Protože zvolená plocha je uvnitř nabité vrstvy, není v ní uzavřen žádný náboj, tj. Úprava levé strany Gaussovej věty by byla stejná ako v předchozích oddílech. Velikost intenzity elektrického pole uvnitř sféry je tedy rovna nule.

Potenciál vně nabité vrstvy

Potenciál v bode A se až na znaménko rovná integrálu intenzity z místa s nulovým potenciálem do bodu A. Potenciál nezávisí na volbě integrační cesty, proto ji môžeme voliť libovolně. φ(z) = - ∫∞^z E dz. φ(z) = - ∫∞^z vecE·dz = - ∫∞^z E dz. Při vyjadřování potenciálu si musíme dát pozor na velikost intenzity. Hranicí, kdy se vyjádření intenzity mění, je povrch kulové vrstvy. Proto je třeba celý integrál rozdělit na dvě části. Nejdříve musíme náboj přenést z nekonečna na povrch kulové vrstvy (tj. φ(z) = - ∫b^z E_v dz - ∫z_b E_u dz + …).

Grafy

Graf závislosti velikosti el. E = ρ (b^3 - a^3) / (3ε0) · 1/z^2. Graf funkcie φ(z) = ρ(b^3 - a^3)/(3ε0) · 1/z. Funkcie sú spojité v bodoch z = a a z = b. Elektrický potenciál je vždy spojitý, pretože ide o prácu pri prenášení jednotkového náboja a ta sa nemôže zmeniť „skokovo“.

Jak súvisí nabitá kulová vrstva a koule

Z výsledku úlohy môžeme vyjadriť aj intenzitu elektrického pola nabité koule: E = ρ(R^3 - 0)/(3ε0) · 1/z^2 = ρR^3/(3ε0) · 1/z^2. E = (ρ/3ε0)(z - 0/z^2) = (ρ/3ε0) z. Vidíme, že vzťahy sú v zhode.

Jak súvisí nabitá kulová vrstva s nabitou sférou

Sféra je vlastne veľmi tenká kulová vrstva. Ak zväčšujeme dutinu vnútri vrstvy, až a = b = R, dostaneme sféru o polomere R. Pre sféru je potrebné mať plošnú hustotu náboja, nie objemovú hustotu. Vzorec pre intenzitu mimo vrstvy upravíme: E = ρ ΔR (b^2 + ba + a^2)/(3ε0) · 1/z^2 = σ (b^2 + ba + a^2)/(3ε0) · 1/z^2. Potenciál vně sféry: φ(z) = σ R^2/ε0 · 1/z. Uvnitř sféry potom φ (z) vyžaduje zvláštny zápis.

Specifické prípady a súvisiace pojmy

Speciálnym prípadom nabité kulovej vrstvy je veľmi tenká vrstva alebo plná guľa. Oba prípady sú početne jednoduchšie. Elektrické pole je fyzikálne pole, v ktorom je veličinou poľa (tj veličinou priradenou každému bodu poľa) intenzita.

Základné pojmy elektrostatiky

Elektrostatika sa zaoberá elektricky nabitými telesami a interakciami medzi nimi. Existujú dva druhy elektrického náboja: kladný a záporný. Coulombov zákon: F_e = k Q1 Q2 / r^2. Intensita poľa (E) je F_e / Q = k Q / r^2. Plošná hustota náboja σ = Q/S; pre guľu σ = Q/(4πR^2). Vzťah |E| = σ/ε0, ε0 = 8,854×10^-12 F/m. Vnútorné pole pre vodiče je nulové, a preto v dutinách nastupuje shielding. Kapacita C = Q/φ; pre guľu C = 4π ε0 R. Energia nabitého kondenzátora: W = 1/2 C U^2.

Príklady a aplikácie

1. Kladne nabitý guľový vodič s polomerom 5 cm: E v bode vzdialenom 1 m od stredu má hodnotu 1 V/m.
2. Intenzita medzi dvoma rovnobežnými platňami so vzdialenosťou 5 cm a napätím 150 V: E = U/d = 150/0.05 = 3 kV/m.
3. Práca vo veci posunu náboja 20 μC v poli s E = 10^4 N/C po dráhe 0,10 m: W = F·d = q E d = 0,02 J.
4. Potenciál vodiča, ak práca na presun 50 μC z nulového potenciálu na povrch je 0,2 J: φ = W/q = 0,2/50×10^-6 = 4×10^3 V.

Tabuľka niektorých konštánt a vzorcov

Ďalšie vzorce a riziká s polarizáciou

Polarizácia nevodičov opisuje, ako externé pole spôsobí odchylenie kladných a záporných častíc v izolante. Vektor indukcie D (elektrostatické pole pre nevodiče) súvisí s E a σ_p. Maxwellove zákony pre nevodiče zahrnujú vektor D a jeho vzťahy s E a ∑σ.

Príklady na výpočet

1. Určite intenzitu poľa mimo gule s rovnomerným rozložením Q na povrchu.
2. Pre doskový kondenzátor: C = ε0 S / d; energia U = 1/2 C U^2.

tags: #intenzita #elektrickeho #pola #gula