Gula je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie.
1. Aký veľký je polomer gule, ktorá má objem 1 l?
Objem gule sa vypočíta podľa vzorca V = (4/3) π r^3. Ak zadaný objem je 1 liter, treba si najprv uvedomiť, že 1 liter sa rovná 1000 cm^3, teda V = 1000 cm^3. Z tohto vyplýva:
- r^3 = (3V)/(4π) = (3 · 1000 cm^3)/(4π) = 3000/(4π) cm^3.
- r = (3000/(4π))^(1/3) cm.
- Približne: r ≈ 6,2 cm.
Polomer gule s objemom 1 l je teda približne 6,2 cm.
2. Povrch gule je 1 m². Aký veľký je jej objem?
Povrch gule je S = 4π r^2. Z toho vyplýva r = sqrt(S/(4π)) = sqrt(1 m^2 /(4π)).
r ≈ sqrt(1/(12,566...)) m ≈ sqrt(0,0796) m ≈ 0,282 m.
Objem gule sa počíta ako V = (4/3) π r^3. Po dosadení:
- r ≈ 0,282 m.
- V ≈ (4/3) π (0,282 m)^3 ≈ (4/3) π · 0,0224 m^3 ≈ 0,094 m^3.
Objem je približne 0,094 m³, čo zodpovedá 94 litrom.
3. Vypočítajte polomer olovenej gule, ktorej hmotnosť je 20 kg a merná hustota olova je ρ = 11,4 kg/dm³
Najprv prepočítajme hustotu na jednotky cm³: ρ = 11,4 kg/dm³ = 11,4 g/cm³ (pretože 1 kg/dm³ = 1 g/cm³).
Objem gule V = m/ρ = 20 000 g / 11,4 g/cm³ ≈ 1754,39 cm³.
Objem gule tiež vyjadruje V = (4/3) π r^3. Z toho:
- r^3 = (3V)/(4π) = (3 · 1754,39 cm³)/(4π) ≈ 1326,29/(12,566) ≈ 105,7 cm³ / cm³, čo je len číslo na tretej odmocniny.
- r ≈ (105,7)^(1/3) cm ≈ 4,7 cm.
Polomer gule je približne 4,7 cm.
4. Tisíc brokov s priemerom 2 mm zlejeme do jednej gule. Aký bude jej priemer?
Priemer jedného broku d_brok = 2 mm = 0,2 cm. Polomer jedného broku r_brok = 0,1 cm. Objem jedného broku približne V_brok ≈ (4/3) π (0,1 cm)^3 ≈ 0,00419 cm³. Tisíc brokov má objem približne V_total ≈ 1000 × 0,00419 cm³ ≈ 4,19 cm³.
Objem gule V = 4,19 cm³ = (4/3) π r^3 → r^3 = (3V)/(4π) ≈ (3 · 4,19)/(12,566) ≈ 1,0 cm³.
r ≈ 1,0 cm, teda priemer d = 2r ≈ 2,0 cm.
5. Akú hmotnosť má dutá olovená guľa, ak jej vonkajší priemer d = 12 cm a hrúbka steny je 20 mm? Merná hustota olova je ρ = 11,4 g/cm³.
Vonkajší polomer R = d/2 = 6 cm. Hrúbka steny t = 20 mm = 2 cm. Vnútorný polomer r = R − t = 6 − 2 = 4 cm.
Objem dutiny V_vnútorná = (4/3)π r^3 = (4/3)π · 64 ≈ 268,08 cm³.
Objem vonkajšej gule V_vonkajšia = (4/3)π R^3 = (4/3)π · 216 ≈ 904,78 cm³.
Objem kovu = V_vonkajšia − V_vnútorná ≈ 904,78 − 268,08 ≈ 636,70 cm³.
Hmotnosť = objem kovu × hustota = 636,70 cm³ × 11,4 g/cm³ ≈ 7258, + prispôsobenie spolu: 636,7 × 11,4 ≈ 7259 g ≈ 7,26 kg.
6. Tri plastelínové gule majú polomery r1 = 3 cm, r2 = 4 cm a r3 = 5 cm. Z týchto troch gulí sa vymodelovala jedna veľká guľa.
Objemy gúľ sú: V1 = (4/3)π(3)^3 = 36π cm³, V2 = (4/3)π(4)^3 = 256/3 π cm³, V3 = (4/3)π(5)^3 = 500/3 π cm³.
Spoluobjem V_total = V1 + V2 + V3 = (36π + 256/3 π + 500/3 π) cm³ = (36π + 256π/3 + 500π/3) = (36π + 756π/3) = (36π + 252π) = 288π cm³.
Nová guľa má objem V_total = 288π cm³. Jej polomer sa získa z V = (4/3)π r^3 → r^3 = (3V)/(4π) = (3 · 288π)/(4π) = 216.
r = 6 cm. Priemer novej gule je d = 12 cm.
Príklady a cvičenia
- Vypočítajte objem gule s polomerom 7 cm.
- Odhadnite povrch gule s objemom 2 litry.
- Porovnajte objem guľovitých telies s rovnakým objemom, ale rôznymi polomermi.
Vizualizácia objemu gule | Odvodenie algebraického vzorca pomocou animácií
Tabuľka porovnaní podľa vzorcov
| Symbol | Význam | Vzorec |
|---|---|---|
| r | polomer gule | V = (4/3)πr^3 |
| S | povrch gule | S = 4πr^2 |
| V | objem gule | V = (4/3)πr^3 |